Циркуляция магнитного поля по замкнутому контуру равна охватываемому им току

- магнитное поле - вихревое, порождается электрическими движущимися зарядами, его силовые линии всегда замкнуты, магнитных зарядов нет. Линии магнитной индукции непрерывны: они не имеют ни начала, ни конца. Это имеет место для любого магнитного поля, вызванного какими угодно контурами с током. Векторные поля, обладающие непрерывными линиями, получили название вихревых полей. Мы видим, что магнитное поле есть вихревое поле. В этом заключается существенное отличие магнитного поля от электростатического. Из теоремы Гаусса для векторного поля в дифференциальной форме следует, что поле можно представить в виде ротора вспомогательного векторного поля , называемого векторным потенциалом : 

поскольку . Физический смысл в магнитостатике приписывают векторному полю , поэтому векторный потенциал, вообще говоря, определен с точностью до градиента любой скалярной функции. Действительно, если , где фи  - скалярное поле, и , то имеем:  

      , то есть  для , поскольку .

Циркуляция вектора магнитной индукции по замкнутому контуру , равна потоку вектора объемной плотности тока через произвольную поверхность , натянутую на этот контур, если направление обхода контура и направление нормали к поверхности согласованы между собой по правилу правого винта:

      Возьмем контур l, охватывающий прямой ток I, и вычислим для него циркуляцию вектора магнитной индукции , т.е. .

      Вначале рассмотрим случай, когда контур лежит в плоскости перпендикулярно потоку (ток I направлен за чертеж). В каждой точке контура вектор  направлен по касательной к окружности, проходящей через эту точку (линии  прямого тока – окружности). Воспользуемся свойствами скалярного произведения векторов.

       где  – проекция dl на вектор ,  но , где R – расстояние от прямой тока I до dl.

.

      Отсюда

 это теорема о циркуляции вектора :  циркуляция вектора магнитной индукции равна току, охваченному контуром, умноженному на магнитную постоянную.

      Иначе обстоит дело, если ток не охватывается контуром (рис. 2.9).

      При обходе радиальная прямая поворачивается сначала в одном направлении (1–2), а потом в другом (2–1). Поэтому   , и следовательно 

      Итак,     ,  где I – ток, охваченный контуром L.

      Эта формула справедлива и для тока произвольной формы, и для контура произвольной формы.

      Если контур охватывает несколько токов, то 

т.е. циркуляция вектора  равна алгебраической сумме токов, охваченных контуром произвольной формы.

      Теорема о циркуляции вектора индукции магнитного поля   позволяет легко рассчитать величину В от бесконечного проводника с током:    .

 Итак, циркуляция вектора магнитной индукции B  отлична от нуля, если контур охватывает ток (сравните с циркуляцией вектора E : ).

Такие поля, называются вихревыми или соленоидальными. Магнитному полю нельзя приписывать потенциал, как электрическому полю. Этот потенциал не был бы однозначным: после каждого обхода по контуру он получал бы приращение .

      Линии напряженности электрического поля начинаются и заканчиваются на зарядах. А магнитных зарядов в природе нет. Линии  всегда замкнуты. Поэтому теорема Гаусса для вектора магнитной индукции  записывается так: 

.